Операция выполнена!
Закрыть
info@vsetut.pro
Стать автором
Вернуться

Теорема Фробениуса

13.06.2026 17:31:27 | Хабр
Хабы: Математика

Эта заметка является продолжением статьи: url{https://habr.com/ru/articles/1044230/} <<Выпрямление векторных полей и коммутирование потоков>>

Возьмем гладкую функцию трех переменных f:mathbb{R}^3 omathbb{R} (предположим для простоты, что её градиент нигде не обращается в ноль). Рассмотрим её поверхности уровня: egin{equation*} f(x, y, z) = C end{equation*}

При различных значениях константы C мы получаем набор непересекающихся двумерных поверхностей. Пространство расслаивается на них, как слои в луковице. Если теперь в каждой точке пространства взять касательную плоскость к проходящей через неё поверхности уровня, мы получим поле двумерных плоскостей.

По построению это распределение интегрируемо, а поверхности уровня f(x,y,z)=C являются его интегральными поверхностями.

Обратно, допустим, кто-то задал нам совершенно произвольное гладкое поле двумерных плоскостей в mathbb{R}^3 и попросил найти для них интегральные поверхности.

Поле двумерных плоскостей можно задать двумя линейно независимыми в каждой точке mathbb{R}^3 векторными полями u(x,y,z) и v(x,y,z). Тогда через каждую точку (x,y,z) пространства проходит плоскость, содержащая векторы u(x,y,z) и v(x,y,z).

Всегда ли мы сможем найти такую функцию f, поверхности уровня которой будут везде касаться наших плоскостей?

Интуиция может подсказывать, что это всегда возможно, но это не так.

Ответ на вопрос дает теорема Фробениуса.

Читать далее
Подробнее
Читайте также
НОВОСТИ

ВСЕ НОВОСТИ
ПИШИТЕ

Техническая поддержка проекта ВсеТут

info@vsetut.pro

Copyright © 2026 - vsetut.pro