Семинар в ШАД Хелпер: экстремальные задачи на графы

info@vsetut.pro

Стать автором

Вернуться

18.11.2025 12:20:35 | Хабр

Хабы: Математика

В теории графов, как и в других разделах математики, есть экстремальные проблемы. Они происходят как из практических задач, так и из эстетических соображений: найти оптимальное значение той или иной величины может быть и на практике необходимо, и просто любопытно. Многие из таких задач можно встретить на олимпиадах, кружках и экзаменах.
Вот подборка задач, предлагавшихся в разные годы в ШАД. Решения этих и других задач ШАД есть в нашем задачнике.

Задача 1. Дан граф без кратных ребер и петель с вершинами. Известно, что у любого ребра хотя бы одним из концов является вершина, из которой выходит не более других ребер. Какое наибольшее количество ребер может быть в этом графе?

Задача 2. (Усиление теоремы Мантеля 8.) В графе вершин и рёбер, . Докажите, что в этом графе найдутся два треугольника с общим ребром.

Задача 3. В стране городов. Некоторые пары городов соединены авиалиниями. Оказалось, что любые города соединены друг с другом не более чем четырьмя авиалиниями. Какое наибольшее количество авиалиний может быть в этой стране?

Задача 4. В графе 40 вершин. Среди любых пяти найдётся одна, соединённая с четырьмя остальными. Какое наименьшее число рёбер в таком графе?

В этой статье мы покажем очень красивое решение следующей задачи теории графов XX столетия. Некоторые задачи из ШАД являются её вариациями или просто близки по духу.

Подробнее