Хабы: Математика
Разберём одну красивую задачу, подводящую к важному понятию аффинной геометрии —центру масс.
Пират зарыл клад на острове среди 20 деревьев и написал, как его искать: надо встать к первому дереву, пройти половину расстояния до второго, затем повернуть к третьему и пройти треть расстояния до него, и т. д., наконец, повернуть к двадцатому и пройти двадцатую часть расстояния до него. Увы, пират забыл указать, как занумерованы деревья! Сколько разных ям придётся выкопать кладоискателям, чтобы гарантированно найти клад?
Решим задачу для любого числа деревьев. Для двух деревьев надо вырыть одну яму посередине между ними. В случае трёх деревьев в вершинах треугольника мы пойдём по стороне, свернём на медиану и пройдём треть её длины, а значит, окажемся в точке пересечения медиан, независимо от нумерации деревьев. Снова достаточно одной ямы. "По законам жанра" так должно быть всегда. Докажем это.
Читать далее